Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

Schritt 2.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache.

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.3.1.4

Stelle die Faktoren in $2^{\frac{2}{3}} x$ um.

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ durch $2^{\frac{2}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ durch $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 3.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 4 \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1 - 4 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 - 4$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 4 \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 - 4 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, - 3), (0, 0)$

Schritt 5