Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=x^3-4x
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.5
Vereinfache .
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Schritt 2.5.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.5.2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 2.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.4.5
Addiere und .
Schritt 2.5.4.6
Schreibe als um.
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Schritt 2.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 2.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
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Schritt 4.1.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.1.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.1.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.1.2.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.1.2.2
Schreibe als um.
Schritt 4.1.2.1.2.3
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.1.2.4
Schreibe als um.
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Schritt 4.1.2.1.2.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.1.2.4.2
Schreibe als um.
Schritt 4.1.2.1.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.1.2.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 4.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.2.1.5
Multipliziere .
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Schritt 4.1.2.1.5.1
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
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Schritt 4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.2.5
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.1.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2
Berechne bei .
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Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.1.3
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.2.1.3.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3.4
Schreibe als um.
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Schritt 4.2.2.1.3.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.3.4.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2.1.3.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.2.1.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.1.6.2
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.1.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.5.2
Addiere und .
Schritt 4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 5