Analysis Beispiele

$x^{2} e^{8 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{8 x}$ .

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ um.

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 x e^{8 x}$ aus $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 x e^{8 x}$ aus $8 x^{2} e^{8 x}$ heraus.

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 x e^{8 x}$ aus $2 x e^{8 x}$ heraus.

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 x e^{8 x}$ aus $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ heraus.

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $e^{8 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $e^{8 x}$ gleich $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $e^{8 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{8 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.6

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{2} e^{8 x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{8 (0)}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 e^{0}$

Schritt 4.1.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

Schritt 4.2.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

Schritt 4.2.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

Schritt 4.2.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

Schritt 4.2.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 4.2.2.6

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{16 e^{2}}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

Schritt 5