Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte cos(x)^2
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.3
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Setze gleich .
Schritt 2.3.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 2.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.3.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 2.3.2.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.3.2.4.2
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.3.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 2.3.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.3.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.3.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.3.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 2.3.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 2.4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.4.2.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 2.4.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 2.4.2.5
Ermittele die Periode von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.4.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.4.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.4.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 2.4.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 2.6
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.2.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3
Liste all Punkte auf.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5