Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{e^{x}}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{e^{1}}{1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Dividiere $e^{1}$ durch $1$ .

$e^{1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache.

$e$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{e^{0}}{0}$

Schritt 4.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, e)$

Schritt 5