Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} = 36$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y^{2} = 36$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y^{2} = 36$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{6}{x})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{6}{x}$

Schritt 1.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{6}{x}$

Schritt 1.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{6}{x}$

Schritt 1.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Schritt 3.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 3.3

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 3.5.2.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Schritt 3.5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- y x$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Schritt 3.5.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Schritt 3.5.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 3.5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y}{x} = 0$ .

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y = 0 x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- y = 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 4.4

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Schritt 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $l$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1

Bewege $l$ .

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $l$ mit $l$ .

Schritt 5.2.2

Multipliziere $l^{2}$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege $l$ .

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $l$ mit $l^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

Schritt 5.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 5.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

Schritt 5.2.3

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Bewege $r$ .

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

Schritt 5.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 5.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Schritt 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $l$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1

Bewege $l$ .

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $l$ mit $l$ .

Schritt 6.2.2

Multipliziere $l^{2}$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1

Bewege $l$ .

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $l$ mit $l^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

Schritt 6.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 6.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

Schritt 6.2.3

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Bewege $r$ .

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

Schritt 6.2.4.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

Schritt 6.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 6.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Schritt 8