Analysis Beispiele

$x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$2 x + 2$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 2$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$x = - 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1) + 5$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 5$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (- 1) = 4$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ ist $y = 4$ .

$y = 4$

Schritt 5