Analysis Beispiele

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x y + y^{2} - 3 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = x$ und $c = x^{2} - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Schreibe $- 3 x^{2} + 12$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 12$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Schreibe $- 3 x^{2} + 12$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 12$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ heraus.

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ heraus.

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.5.7

Schreibe $- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ als $- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe $- 3 x^{2} + 12$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 12$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ heraus.

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ heraus.

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.6.7

Schreibe $- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ als $- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Schritt 1.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Schritt 3.2.4

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 2 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x + y = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - y$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.2.10

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.10.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{3 (4 - y)}{2}$ mit $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 5.2.2.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.2.11

Schreibe $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 (4 - y) (4 + y)$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.2.11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 5.2.2.11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Schritt 5.2.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{2}$

Schritt 5.2.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 5.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Schreibe $- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ als $- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 5.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Schritt 5.2.8.4

Mutltipliziere $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 5.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Schritt 6.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Schritt 6.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Schritt 6.2.2.10

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.10.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Schritt 6.2.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{3 (4 - y)}{2}$ mit $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 6.2.2.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.2.11

Schreibe $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 (4 - y) (4 + y)$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.2.11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 6.2.2.11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Schritt 6.2.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$

Schritt 6.2.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Multipliziere $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 6.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 6.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 6.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.1

Schreibe $- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ als $- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Schritt 6.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 6.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Schritt 6.2.8.4

Mutltipliziere $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Schritt 8