Analysis Beispiele

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Schritt 1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Schritt 3.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Schritt 3.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Schritt 3.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y, y, 1$

Schritt 4.1.2

Da $2 y, y, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}, y^{1}$ .

Schritt 4.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 4.1.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 4.1.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 4.1.6

Das kgV von $2, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 4.1.7

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.8

Das kgV von $y^{1}, y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 4.1.9

Das kgV von $2 y, y, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 y$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ mit $2 y$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ mit $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere $2 \frac{3 x}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Multipliziere $0 (2 y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 6 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) + 6 x = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $6 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (2)$ heraus.

$3 x (x + 2) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $0$ und $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Schritt 6.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Schritt 7.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 2) = 2$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Schritt 9