Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.7

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Schritt 1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Schritt 1.2.11.2

Mutltipliziere $x^{2} - 8 x + 7$ mit $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.6

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.8

Subtrahiere $8 x$ von $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.9

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Schritt 1.3.4.10

Subtrahiere $8 x$ von $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Schritt 1.3.4.11

Addiere $8$ und $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 18 x + 15$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ bei $x = 5$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 15$ und $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 32$ .

$- 32$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ sind $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Schritt 6