Analysis Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $36$ durch $9$ .

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

Schritt 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

Schritt 1.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 1.4.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe $\frac{4 x^{2}}{9}$ als ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = \frac{2 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.7

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.8

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

Schritt 1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

Schritt 1.4.10

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

Schritt 1.4.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

Schritt 1.4.10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

Schritt 1.4.11

Mutltipliziere $\frac{2 (3 + x)}{3}$ mit $\frac{2 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Schritt 1.4.12

Multipliziere.

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Schritt 1.4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 1.4.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Schritt 1.4.13

Schreibe $\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ als ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ um.

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Schritt 1.4.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (3 + x) (3 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Schritt 1.4.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 1.4.13.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Schritt 1.4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 1.4.15

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 1.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 1.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 1.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 9 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 y^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x + 9 (2 y y')$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$8 x + 18 y y'$

Schritt 3.2.4

Stelle die Terme um.

$18 y y' + 8 x$

Schritt 3.3

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$18 y y' + 8 x = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 y y' = - 8 x$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $18 y y' = - 8 x$ durch $18 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $18 y y' = - 8 x$ durch $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $18$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

Schritt 3.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

Schritt 5.2.2.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

Schritt 5.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (0) = \frac{6}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $6$ durch $3$ .

$f (0) = 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

Schritt 6.2.2.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

Schritt 6.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (0) = - \frac{6}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $6$ durch $3$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Schritt 8