Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.5.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.5.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.5.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.5.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ bei $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.4.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2.1.8

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 4.2.1.9

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Schritt 4.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Schritt 4.2.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.11.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Schritt 4.2.1.11.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 4.2.1.12

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Schritt 4.2.1.13

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ ist $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Schritt 6