Analysis Beispiele

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Schritt 1.11

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x - 4$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x - 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$x = 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ ist $y = 0$ .

$y = 0$

Schritt 5