Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} + e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.4

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x e^{- x}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $e^{- (1)}$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Schritt 3.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x e^{- x}$ ist $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Schritt 5