Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 6 x$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 6$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 6$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 6$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x$ bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x$ bei $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x$ sind $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

Schritt 6