Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 9$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{3}{9 + 9}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $9$ und $9$ .

$f (3) = \frac{3}{18}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (3) = \frac{3 (1)}{18}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = \frac{1}{6}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ bei $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 9}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $9$ und $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{18}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1)}{18}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{1}{6}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ sind $y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$ .

$y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$

Schritt 6