Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ sind $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

Schritt 6