Analysis Beispiele

$y = 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x + 4$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x + 4 = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 4$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$x = - 1$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 4 (- 1)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 2 + 4 (- 1)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ ist $y = - 2$ .

$y = - 2$

Schritt 6