Analysis Beispiele

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 1

Stelle $7 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 7 x$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - x^{2} + 7 x$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x + 7 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 2 x + 7$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 7 = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 7$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{2} + 7 x$ bei $x = \frac{7}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - {(\frac{7}{2})}^{2} + 7 (\frac{7}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{7^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + 7 (\frac{7}{2})$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $7 (\frac{7}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{7 \cdot 7}{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2}$

Schritt 5.2.2

Um $\frac{49}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 49 \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $49$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 98}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 49$ und $98$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{49}{4}$ .

$\frac{49}{4}$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - x^{2} + 7 x$ ist $y = \frac{49}{4}$ .

$y = \frac{49}{4}$

Schritt 7