Analysis Beispiele

$y = x + \cos (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x + \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 3.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + \cos (x)$ bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + \cos (x)$ bei $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + 2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $2 π$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 π}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2 π}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.5.2

Addiere $π$ und $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.6

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $π$ und $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $5 π$ und $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x + \cos (x)$ ist $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Schritt 7