Analysis Beispiele

$y = \sec (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \sec (x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.2

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 3.2.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3.3

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 3.3.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.3.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.3.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sec (x) \tan (x) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sec (x)$ bei $x = π$ .

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Schritt 4.1

$f (π) = \sec (π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (π) = - \sec (0)$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = - 1$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \sec (x)$ ist $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Schritt 6