Analysis Beispiele

$y = 5 x - x^{2}$

Schritt 1

Stelle $5 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 5 x$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x + 5 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 x + 5$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 5 = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 5$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{2} + 5 x$ bei $x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $5 (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

Schritt 5.2.2

Um $\frac{25}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - x^{2} + 5 x$ ist $y = \frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

Schritt 7