Analysis Beispiele

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x - - 1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 3.2

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 5