Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0.2367329$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ bei $x = 0.2367329$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $0.2367329$ mit $4$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $0.2367329$ mit $2$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.05604246$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0.00314075$ und $0.11208493$ .

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $0.2367329$ von $0.11522569$ .

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.12150721$ .

$- 0.12150721$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ ist $y = - 0.12150721$ .

$y = - 0.12150721$

Schritt 6