Analysis Beispiele

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Stelle die Terme um.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 2.4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 2.4.2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 2.5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 2.5.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 2.5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.5.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ bei $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 3.2.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.2

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ ist $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

Schritt 6