Analysis Beispiele

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + 2 \sin (x)$ bei $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 3.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x + 2 \sin (x)$ bei $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x + 2 \sin (x)$ sind $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Schritt 6