Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ und deren Summe gleich $b = - 28$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $- 28$ aus $- 28 x$ heraus.

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $- 28$ um als $- 1$ plus $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 3.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 9$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ bei $x = \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.7

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

Schritt 4.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{14}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{14}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.2.6

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $42$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 41$ und $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ bei $x = 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $1134$ von $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 405$ und $81$ .

$f (9) = - 324$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 324$ .

$- 324$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ sind $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

Schritt 7