Analysis Beispiele

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$ nicht definiert ist.

$x = - 3$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 4 x - 7}{x + 3}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) - 7}{x + 3}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 7}{x + 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)}{x + 3}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.6.1

Schreibe $- (x^{2} + 4 x + 7)$ als $- 1 (x^{2} + 4 x + 7)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Schritt 5.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- (x^{2} + 4 x + 7)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Kehre das Vorzeichen von $x^{2} + 4 x + 7$ um.

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$4 x$

$7$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 3 x$

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					-	$x$	-	$3$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 3$

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$
							-	$4$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- x - 1 - \frac{4}{x + 3}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - x - 1$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - x - 1$

Schritt 7