Analysis Beispiele

$y = x + \sin (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ um.

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y' \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' - x y' \cos (x y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \cos (x y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ heraus.

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ durch $1 - x \cos (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ durch $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x \cos (x y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \cos (x y) = - 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $y \cos (x y) = - 1$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y \cos (x y) = - 1$ durch $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x y)$ durch $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Schritt 7.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Schritt 7.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Schritt 7.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Schritt 7.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Schritt 8.1.1.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (- \frac{1}{y})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Schritt 8.1.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Schritt 8.1.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{y}$ .

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Schritt 8.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Schritt 8.1.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Schritt 8.1.1.10

Mutltipliziere $\frac{y - 1}{y}$ mit $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Schritt 8.1.1.11

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Schritt 8.1.1.12

Schreibe $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ als ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ um.

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Schritt 8.1.1.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(y - 1) (y + 1)$ heraus.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Schritt 8.1.1.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $y^{2}$ aus $y^{2}$ heraus.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Schritt 8.1.1.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Schritt 8.1.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Schritt 8.1.1.14

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Schritt 8.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Schritt 8.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y \approx 1.94368519$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Dividiere $1$ durch $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Schritt 9.2.1.3

Berechne $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $2.11120515$ durch $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Schritt 11