Analysis Beispiele

$x^{2} + x y = 10$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 x + y$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 x + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 2 x - y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 2 x - y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{x} = 2$

Schritt 7.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 7.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 2$ mit $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Schritt 7.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Schritt 7.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y = 2 x$

Schritt 7.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x = - y$ um.

$2 x = - y$

Schritt 7.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Schritt 8.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Schritt 8.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Schritt 8.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Schritt 8.1.1.5

Multipliziere $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Schritt 8.1.1.5.1

Kombiniere $y$ und $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Schritt 8.1.1.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Schritt 8.1.1.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Schritt 8.1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Schritt 8.1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Schritt 8.1.2

Um $- \frac{y^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Schritt 8.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Schritt 8.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Schritt 8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Schritt 8.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 8.1.5.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Schritt 8.1.5.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Schritt 8.1.5.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Schritt 8.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Schritt 8.1.5.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Schritt 8.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.6.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Schritt 8.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$y^{2} = - 40$

Schritt 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Schritt 8.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 40}$ .

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Schritt 8.5.1

Schreibe $- 40$ als $- 1 (40)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Schritt 8.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (40)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Schritt 8.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Schritt 8.5.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 8.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Schritt 8.5.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 8.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Schritt 8.5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Schritt 8.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Schritt 8.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Schritt 8.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $i \sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Schritt 10

Vereinfache $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{10}$ heraus.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Schritt 10.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Schritt 10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Schritt 10.1.2.4

Dividiere $- i \sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Schritt 10.2

Multipliziere $- (- i \sqrt{10})$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Schritt 11

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Schritt 12