Analysis Beispiele

$x^{6} = \cot (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ um.

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ durch $- \csc^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ durch $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (y)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x^{5} = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{5} = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{5} = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 7.2.1.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Schritt 7.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x^{5} = 0$

Schritt 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\cot (y) = 0^{6}$ um.

$\cot (y) = 0^{6}$

Schritt 8.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\cot (y) = 0$

Schritt 8.3

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$y = arccot (0)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Schritt 8.5

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$y = π + \frac{π}{2}$

Schritt 8.6

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 8.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 8.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 8.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 8.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 8.6.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.7

Ermittele die Periode von $\cot (y)$ .

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Schritt 8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8.8

Die Periode der Funktion $\cot (y)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Schritt 10