Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{16}{x}$ , $[- 7, - 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{16}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{16}{x}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 + 16 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$1 - 16 x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 16 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.4.1.1

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 16}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{16}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{16}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{16}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{16}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{16}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{16}{x^{2}} = - 1$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{16}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{16}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 16 = - x^{2}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 16$ um.

$- x^{2} = - 16$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 1.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 1.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 1.2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 1.2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{16}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $x + \frac{16}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$(4) + \frac{16}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$4 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$8$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$(- 4) + \frac{16}{- 4}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Dividiere $16$ durch $- 4$ .

$- 4 - 4$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$- 8$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) + \frac{16}{0}$

Schritt 1.4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(4, 8), (- 4, - 8)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(- 4, - 8)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 7$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 7$ .

$(- 7) + \frac{16}{- 7}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 - \frac{16}{7}$

Schritt 3.1.2.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- 7 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16}{7}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- 7 \cdot 7}{7} - \frac{16}{7}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 \cdot 7 - 16}{7}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$\frac{- 49 - 16}{7}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $- 49$ .

$\frac{- 65}{7}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{65}{7}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$(- 1) + \frac{16}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Dividiere $16$ durch $- 1$ .

$- 1 - 16$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $- 1$ .

$- 17$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 7, - \frac{65}{7}), (- 1, - 17)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 4, - 8)$

Absolutes Minimum: $(- 1, - 17)$

Schritt 5