Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 12$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{3} - 12 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 12 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$8 - 24$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$- 8 + 24$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(2, - 16), (- 2, 16)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(2, - 16)$

Schritt 3

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 3.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 3.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 12$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $48$ .

$f' (- 4) = 36$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $36$ .

$36$

Schritt 3.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 12$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f' (0) = - 12$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 3.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 12$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (4) = 48 - 12$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $12$ von $48$ .

$f' (4) = 36$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $36$ .

$36$

Schritt 3.5

Da die erste Ableitung um $x = - 2$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - 2$ ein lokales Maximum.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3.6

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Minimum.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(2, - 16)$

Schritt 5