Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 16$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.0451763$ .

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.0451763$ mit $2$ .

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4.18274609$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2.0451763$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $12.54823829$ und $32.7228208$ .

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $45.27105909$ .

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $25.27105909$ .

$25.27105909$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2.0451763$ ist die Ableitung $25.27105909$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.6666666$ .

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2.6666666$ mit $2$ .

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7.11111075$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $2.6666666$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $42.6666656$ von $21.33333226$ .

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 41.\overline{3}$ .

$- 41.\overline{3}$

Schritt 6.3

Bei $x = 2.6666666$ ist die Ableitung $- 41.\overline{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.3785095$ .

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $7.3785095$ mit $2$ .

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $54.44240244$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $7.3785095$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $118.056152$ von $163.32720732$ .

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $45.27105532$ .

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $25.27105532$ .

$25.27105532$

Schritt 7.3

Bei $x = 7.3785095$ ist die Ableitung $25.27105532$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$

Schritt 9