Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 30 x - 36$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 30 x - 36$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 30 x - 36 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 30 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) - 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 36$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ heraus.

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6$ heraus.

$6 (x^{2} - 5 x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 6) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 6) (x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 6) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $6, - 1$ .

$6, - 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 30 \cdot - 2 - 36$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 30 \cdot - 2 - 36$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 30 \cdot - 2 - 36$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 60 - 36$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $24$ und $60$ .

$f' (- 2) = 84 - 36$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $84$ .

$f' (- 2) = 48$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $48$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) - 36$

Schritt 6.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) - 36$

Schritt 6.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 - 36$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $- 15$ mit $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 - 36$

Schritt 6.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $- 75$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} - 36$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 75}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} - 36$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 75}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} - 36$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $- 36$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 - 36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $- 75$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 72}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.5.1

Subtrahiere $150$ von $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 - 72}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $72$ von $- 75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{147}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{147}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 6 {(7)}^{2} - 30 \cdot 7 - 36$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = 6 \cdot 49 - 30 \cdot 7 - 36$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $49$ .

$f' (7) = 294 - 30 \cdot 7 - 36$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $7$ .

$f' (7) = 294 - 210 - 36$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $210$ von $294$ .

$f' (7) = 84 - 36$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $84$ .

$f' (7) = 48$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 7.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $48$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (6, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 1, 6)$

Schritt 9