Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{9}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{9}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 9 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (x) = 1 - 9 x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.1.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 = - x^{2}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 9$ um.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $3, - 3$ .

$3, - 3$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{9}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{9}{{(- 4)}^{2}} + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + 1$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Schritt 6.2.4

Addiere $- 9$ und $16$ .

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $\frac{7}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- \frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Schritt 7.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Schritt 7.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})} + 1$

Schritt 7.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{2^{2}})} + 1$

Schritt 7.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{4})} + 1$

Schritt 7.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

Schritt 7.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Schritt 7.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Schritt 7.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 4 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{3^{2}}{2^{2}}} + 1$

Schritt 8.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{2^{2}}} + 1$

Schritt 8.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

Schritt 8.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Schritt 8.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Schritt 8.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 4 + 1$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 3)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 3)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - \frac{9}{{(4)}^{2}} + 1$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - \frac{9}{16} + 1$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Schritt 9.2.2.3

Addiere $- 9$ und $16$ .

$f' (4) = \frac{7}{16}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 9.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $\frac{7}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 3, 0), (0, 3)$

Schritt 11