Analysis Beispiele

$f (x) = x - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 1$ .

$- 3 x^{2} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 1$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.57735026$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.57735026$ mit $2$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 7.46410152$ und $1$ .

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1.57735026$ ist die Ableitung $- 6.46410152$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.57735026$ .

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.57735026$ mit $2$ .

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 7.46410152$ und $1$ .

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Schritt 7.3

Bei $x = 1.57735026$ ist die Ableitung $- 6.46410152$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 9