Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.14

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.15

Um ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.16

Kombiniere ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18

Multipliziere ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.18.1

Bewege ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Vereinfache ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Vereinfache.

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Schritt 1.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.21.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 8$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 8$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$x = - 2$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 < 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 2$

Schritt 4.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 3$ und $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 5}{2 i}$ mit der Konjugierten von $2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere.

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Schritt 6.2.4.1

Kombinieren.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.2.1

Füge Klammern hinzu.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

Schritt 6.2.4.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

Schritt 6.2.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $\frac{5 i}{2}$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(- \infty, - 2)$ .

Die Funktion ist in $(- \infty, - 2)$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, - \frac{4}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 5.0000001$ und $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 1.6666667$ und $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Schreibe $0.3333333$ als ${0.57735024}^{2}$ um.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Schritt 7.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 1.0000001$ durch $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1.6666667$ ist die Ableitung $- 0.86602553$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, - \frac{4}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, - \frac{4}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{4}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $- 1.0000002$ und $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 0.3333334$ und $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.2

Schreibe $1.6666666$ als ${1.29099442}^{2}$ um.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 8.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Schritt 8.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $2.9999998$ durch $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $1.16189494$ .

$1.16189494$

Schritt 8.3

Bei $x = - 0.3333334$ ist die Ableitung $1.16189494$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \frac{4}{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{4}{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{4}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, - \frac{4}{3})$

Schritt 10