Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{4} + 32 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{4}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{3}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $24 x^{2}$ aus $24 x^{3} + 96 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $24 x^{2}$ aus $24 x^{3}$ heraus.

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $24 x^{2}$ aus $96 x^{2}$ heraus.

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $24 x^{2}$ aus $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ heraus.

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $24 x^{2} (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 4$ .

$0, - 4$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 125$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $96$ mit $25$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 3000$ und $2400$ .

$f' (- 5) = - 600$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 600$ .

$- 600$

Schritt 5.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $- 600$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $96$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 384$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 192$ und $384$ .

$f' (- 2) = 192$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $192$ .

$192$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $192$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $96$ mit $1$ .

$f' (1) = 24 + 96$

Schritt 7.2.2

Addiere $24$ und $96$ .

$f' (1) = 120$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $120$ .

$120$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $120$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 4, 0), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 4)$

Schritt 9