Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 8 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 24 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 6 x$ aus $6 x$ heraus.

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ heraus.

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 6 x (4 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 30$ .

$- 30$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 30$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{1}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.125$ .

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.125$ mit $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 0.375$ und $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.375$ .

$0.375$

Schritt 6.3

Bei $x = 0.125$ ist die Ableitung $0.375$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \frac{1}{4})$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \frac{1}{4})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.25$ .

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.25$ mit $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 37.5$ und $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 30$ .

$- 30$

Schritt 7.3

Bei $x = 1.25$ ist die Ableitung $- 30$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \frac{1}{4})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Schritt 9