Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Schritt 1.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.8.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

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Schritt 1.1.8.4.2.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.2.2

Addiere $- 64 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.8.6.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$64 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $64 x = 0$ durch $64$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $64 x = 0$ durch $64$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $64$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(x + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 4, x = 4$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $\frac{320}{81}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 128$ und $144$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 128$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $144$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $\frac{8}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $144$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $128$ heraus.

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $144$ heraus.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- \frac{8}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Addiere $5$ und $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Schritt 9.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- \frac{320}{81}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(4, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 4), (4, \infty)$

Schritt 11