Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $x^{2} - 6 x + 9$ und $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $3$ .

$3$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 8$ und $9$ .

$f' (2) = 1$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 8$ und $9$ .

$f' (4) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Schritt 8