Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 25$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2.2

Addiere $- 50 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$50 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $50 x = 0$ durch $50$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $50 x = 0$ durch $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $50$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(x + 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 5, x = 5$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 6$ und $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $121$ mit $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{300}{121}$ .

$\frac{300}{121}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $\frac{300}{121}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $- 50$ und $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4.2

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9.2

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.11

Wende die Produktregel auf $- \frac{15}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

Schritt 7.2.2.12

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.12.1

Kombiniere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ und ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.12.2

Kombiniere $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ und ${(\frac{15}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.13.2.1

Kombiniere $5^{2}$ und $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.2.2

Kombiniere ${(- 1)}^{2}$ und $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.13.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.3.3

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.3.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.13.3.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.3.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $225$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.13.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Schritt 7.2.2.15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 7.2.2.16

Multipliziere $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.16.1

Mutltipliziere $\frac{5625}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Schritt 7.2.2.16.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $- 50$ mit $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 250$ durch $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $125$ aus $- 125$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

Schritt 7.2.5.2

Faktorisiere $125$ aus $5625$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Schritt 7.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Schritt 7.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{45}$ .

$\frac{16}{45}$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $\frac{16}{45}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 5, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 5, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $50$ und $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Addiere $5$ und $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.9.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.11

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

Schritt 8.2.2.12

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.12.1

Kombiniere $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ und ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.12.2

Kombiniere $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ und ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.13.2.1

Kombiniere $15^{2}$ und $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.2.2

Kombiniere ${(- 1)}^{2}$ und $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.13.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.3.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.3.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.13.3.4.1

Mutltipliziere $225$ mit $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.3.4.2

Mutltipliziere $225$ mit $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.13.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Schritt 8.2.2.15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 8.2.2.16

Multipliziere $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.16.1

Mutltipliziere $\frac{5625}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Schritt 8.2.2.16.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $50$ mit $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $250$ durch $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $125$ aus $5625$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

Schritt 8.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

Schritt 8.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{45}$ .

$- \frac{16}{45}$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{16}{45}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Addiere $6$ und $5$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $121$ mit $1$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{300}{121}$ .

$- \frac{300}{121}$

Schritt 9.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $- \frac{300}{121}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(5, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 5), (5, \infty)$

Schritt 11