Analysis Beispiele

Ermitteln, wo ansteigend/abfallend mittels Ableitungen f(x) = square root of 4-x
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.7
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.10
Addiere und .
Schritt 1.1.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.13
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Da , gibt es keine Lösungen.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 3
Es gibt keine Werte von im Definitionsbereich, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Keine kritischen Punkte gefunden
Schritt 4
Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
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Schritt 4.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 4.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 4.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.3
Löse nach auf.
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Schritt 4.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 4.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
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Schritt 4.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 4.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 4.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 4.3.2.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.3.2.2.1.6
Multipliziere.
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Schritt 4.3.2.2.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.2.1.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 4.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.5
Löse nach auf.
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Schritt 4.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 4.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.5.2.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 4.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.5.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 5
Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung gleich oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo ansteigt und abfällt, gleich .
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 6.2.1
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 6.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 7.2.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 7.2.1.4
Berechne den Exponenten.
Schritt 7.2.1.5
Schreibe als um.
Schritt 7.2.2
Multipliziere den Zähler und den Nenner von mit der Konjugierten von , um den Nenner reell zu machen.
Schritt 7.2.3
Multipliziere.
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Schritt 7.2.3.1
Kombinieren.
Schritt 7.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.3.3
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 7.2.3.3.1
Füge Klammern hinzu.
Schritt 7.2.3.3.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3.3.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2.3.3.5
Addiere und .
Schritt 7.2.3.3.6
Schreibe als um.
Schritt 7.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in .
Die Funktion ist in nicht real, da imaginär ist
Die Funktion ist in nicht real, da imaginär ist
Schritt 8
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Abfallend im Intervall:
Schritt 9