Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 1.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.6
Vereinfache den Zähler.
Schritt 1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.7
Kombiniere Brüche.
Schritt 1.1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.10
Addiere und .
Schritt 1.1.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.13
Kombiniere Brüche.
Schritt 1.1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Da , gibt es keine Lösungen.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 3
Es gibt keine Werte von im Definitionsbereich, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Keine kritischen Punkte gefunden
Schritt 4
Schritt 4.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Schritt 4.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 4.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 4.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.3
Löse nach auf.
Schritt 4.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 4.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Schritt 4.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 4.3.2.2.1
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 4.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 4.3.2.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.3.2.2.1.6
Multipliziere.
Schritt 4.3.2.2.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.2.1.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 4.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3.3
Löse nach auf.
Schritt 4.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 4.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 4.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 4.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.5
Löse nach auf.
Schritt 4.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 4.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 4.5.2.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 4.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 4.5.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 4.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 5
Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung gleich oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo ansteigt und abfällt, gleich .
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 6.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 7.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 7.2.1.4
Berechne den Exponenten.
Schritt 7.2.1.5
Schreibe als um.
Schritt 7.2.2
Multipliziere den Zähler und den Nenner von mit der Konjugierten von , um den Nenner reell zu machen.
Schritt 7.2.3
Multipliziere.
Schritt 7.2.3.1
Kombinieren.
Schritt 7.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.3.3
Vereinfache den Nenner.
Schritt 7.2.3.3.1
Füge Klammern hinzu.
Schritt 7.2.3.3.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3.3.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2.3.3.5
Addiere und .
Schritt 7.2.3.3.6
Schreibe als um.
Schritt 7.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in .
Die Funktion ist in nicht real, da imaginär ist
Die Funktion ist in nicht real, da imaginär ist
Schritt 8
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Abfallend im Intervall:
Schritt 9