Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 4}$ als ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Schritt 1.1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Schritt 1.1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (1) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 8