Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x + 5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 = 0$

Schritt 2.3

Da $5 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 6$ und $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $- 5$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 7.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $- 5$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 5, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 5, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Schritt 9