Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 1$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- (x - 1)$ an.

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Schritt 4.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (2) = 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Schritt 9