Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (- 2) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

Schritt 9