Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (0) = - 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (2) = - 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Schritt 9