Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 6$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $36$ und $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $36$ und $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $36$ und $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.52752525$ mit $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $9.1651515$ von $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 16.16515166$ und $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1.52752525$ ist die Ableitung $- 12.16515166$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.99999997$ mit $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 2.99999985$ und $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 6.3

Bei $x = 0.99999997$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.5275252$ mit $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 37.3303021$ und $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 16.1651509$ und $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Schritt 7.3

Bei $x = 3.5275252$ ist die Ableitung $- 12.1651509$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Schritt 9